Question

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）…对于正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．
（1）求证：数列{

1

xn

}是等差数列；
（2）设⊙P_n的面积为S_n，Tn=

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

，求证：Tn＜

3 π

2

．

Answer 1

分析：（1）由圆P_n与P_n+1相切，且P_n+1与x轴相切可知R_n=Y_n，R_n+1=Y_n+1，且两圆心间的距离就等于两半径之和进而得到

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=Y_n+Y_n+1，整理得，

1

xn+1

-

1

xn

=2，原式得证．
（2）由（1）可知

1

xn

=2n-1，进而求得x_n的通项公式，代入⊙P_n的面积即可求得的表达式为S_n=（

1

2n-1

）⁴，
要证

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

＜

3 π

2

，只需证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜

3

2

即可．
根据1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²=

3

4

1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²，且1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²＜2，
进而可得1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

2

，进而得T_n=

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

＜

3 π

2

解答：（1）证明：∵圆P_n与P_n+1相切，且P_n+1与x轴相切，
所以，R_n=Y_n，R_n+1=Y_n+1，且两圆心间的距离就等于两半径之和，即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=Y_n+Y_n+1
整理就可以得到，

1

xn+1

-

1

xn

=2
故数列{

1

xn

}是等差数列
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴
约去

π

证明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜

3

2

即可
由（1）知（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²
=1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²
因为1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²
=[1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²]+

1

4

[1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²]
即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）²=

3

4

1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）2
又因为 1+[（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+（

1

5

）²+（

1

6

）²+（

1

7

）²]+（

1

8

）²+…
＜1+[（

1

2

）²+（

1

2

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+（

1

4

）²+8（

1

8

）²+…
=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

…=2
即就是1+（

1

2

）²+（

1

3

）²+（

1

4

）²+…（

1

n

）²＜2
所以 1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

4

×2=

3

2

即1+（

1

3

）²+（

1

5

）²+…（

1

2n-1

）＜

3

2

所以

S1

+

S2

+

S3

+…+

Sn

＜

3 π

2

即Tn＜

3 π

2

点评：本题主要考查了数列在实际中的应用．本题在数列求和问题时，巧妙的用了分组法．