Question

已知函数f（x）（x∈R）的一段图象如图所示，f′（x）是函f（x）（数的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，给出以下结论：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正确的是（ ）

A．①③
B．②
C．②③
D．①

Answer 1

【答案】分析：y=f（x+1）是奇函数，y=f（x+1）的图象关于原点对称y=f（x）的图象关于（1，0）对称．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确，④不正确，根据函数的单调性和函数的值得到②③不正确．
解答：解：∵y=f（x+1）是奇函数，
∴y=f（x+1）的图象关于原点对称，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）对称．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正确，④不正确，
∵f′（x）是函f（x）的导函数．
函数的图象是单调递增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正确，即②不正确，
f（x）（x-1）≥0不正确，
综上可知只有①正确，
故选D．
点评：本题看出函数的奇偶性和函数的图象即函数的导函数与单调性的关系，本题解题的关键是看出函数的对称中心，本题是一个基础题．