Question

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为K米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12K元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为X米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[

(512X2+20)X

100

+8]K元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为Y元．
（Ⅰ）试写出Y关于X的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当K=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，总造价y中包括座位和圆心处的支点间的钢管的费用，相邻座位之间的钢管与座位的费用，故只需算出座位的个数即知钢管的个数，将两项费用表示出来，相加即得y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）将k=100米代入函数关系式，利用导数求出最值即得最低的总造价．

解答：解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k×

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k²（

20

x

+

512x2+20

100

），
定义域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；（6分）
（Ⅱ）当k=100时，0＜x≤25，令y=100（

2000

x

+512x²+20）
f（x）=

2000

x

+512x²，则f′（x）=-

2000

x2

+1024x=0，
∴x³=

1000

512

，∴x=

5

4

，（10分）
当x∈（0，

5

4

）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

5

4

）上单调减，
当x∈（

5

4

，25）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

5

4

，25）上单调增，
∴y_min在x=

5

4

时取到，此时座位个数为

100

5 4

=80个．（15分）

点评：本题考查利用导数解决现实中造价最优的一个应用题，解题的关键是正确构建函数，在求最值时要根据函数的形式选择合适的方法．