题目内容
某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[
+8]k元,假设座位等距离分布,且至少有四个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为y元.
(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)当k=100米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
(512x2+20)x | 100 |
(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)当k=100米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
分析:(Ⅰ)设摩天轮上总共有n个座位,则x=
即n=
,由此能写出y关于x的函数关系式,并写出定义域.
(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,令y=100(
+512x2+20)f(x)=
+512x2,则f′(x)=-
+1024x=
=0.由此当k=100米时,能确定座位的个数,使得总造价最低.
k |
n |
k |
x |
(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,令y=100(
2000 |
x |
2000 |
x |
2000 |
x2 |
-2000+1024x3 |
x2 |
解答:解:(Ⅰ)设摩天轮上总共有n个座位,
则x=
,即n=
,
∴y=12k
+
[
+8]k=k2(
+
),
定义域{x|0<x≤
,
∈Z};
(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,
令y=100(
+512x2+20)f(x)=
+512x2,
则f′(x)=-
+1024x=
=0,
∴x3=
,
∴x=
,
当x∈(0,
)时,f'(x)<0,即f(x)在x∈(0,
)上单调减,
当x∈(
,25)时,f'(x)>0,即f(x)在x∈(
,25)上单调增,
∴ymin在x=
时取到,此时座位个数为
=80个.
则x=
k |
n |
k |
x |
∴y=12k
k |
x |
k |
x |
(512x2+20)x |
100 |
20 |
x |
512x2+20 |
100 |
定义域{x|0<x≤
k |
4 |
k |
x |
(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,
令y=100(
2000 |
x |
2000 |
x |
则f′(x)=-
2000 |
x2 |
-2000+1024x3 |
x2 |
∴x3=
1000 |
512 |
∴x=
5 |
4 |
当x∈(0,
5 |
4 |
5 |
4 |
当x∈(
5 |
4 |
5 |
4 |
∴ymin在x=
5 |
4 |
100 | ||
|
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,解题时要认真审题,注意分析数量间的相互关系,合理地建立方程,注意函数最小值的求法.

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