题目内容

某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[
(512x2+20)x100
+8]k
元,假设座位等距离分布,且至少有四个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为y元.
(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)当k=100米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?
分析:(Ⅰ)设摩天轮上总共有n个座位,则x=
k
n
n=
k
x
,由此能写出y关于x的函数关系式,并写出定义域.
(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,令y=100(
2000
x
+512x2+20)
f(x)=
2000
x
+512x2
,则f′(x)=-
2000
x2
+1024x=
-2000+1024x3
x2
=0
.由此当k=100米时,能确定座位的个数,使得总造价最低.
解答:解:(Ⅰ)设摩天轮上总共有n个座位,
x=
k
n
,即n=
k
x

y=12k
k
x
+
k
x
[
(512x2+20)x
100
+8]k=k2(
20
x
+
512x2+20
100
)

定义域{x|0<x≤
k
4
k
x
∈Z}

(Ⅱ)当k=100时,0<x≤25,
y=100(
2000
x
+512x2+20)
f(x)=
2000
x
+512x2

f′(x)=-
2000
x2
+1024x=
-2000+1024x3
x2
=0

x3=
1000
512

x=
5
4

x∈(0,
5
4
)
时,f'(x)<0,即f(x)在x∈(0,
5
4
)
上单调减,
x∈(
5
4
,25)
时,f'(x)>0,即f(x)在x∈(
5
4
,25)
上单调增,
∴yminx=
5
4
时取到,此时座位个数为
100
5
4
=80
个.
点评:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,解题时要认真审题,注意分析数量间的相互关系,合理地建立方程,注意函数最小值的求法.
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