题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；　
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

解：（1）a=-1，得 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ∈（0，1），t=x²-4x+3的减区间为（-∞，2），增区间为（2，+∞）
∴f（x）的增区间为（-∞，2），减区间为（2，+∞）
（2）∵f（x）有最大值， $\text{[math]}$ ∈（0，1），
∴函数t=ax²-4x+3在区间（-∞， $\text{[math]}$ ）上是增函数，在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是减函数
由此可得，a＞0且f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =3，得- $\text{[math]}$ +3=-1，解之得a=1
综上所述，当f（x）有最大值3时，a的值为1
分析：（1）a=-1，因为 $\text{[math]}$ ∈（0，1），根据指数函数的单调性，得t=x²-4x+3的减区间就是f（x）的增区间，增区间就是f（x）的减区间，由此结合二次函数的单调性，不难得出f（x）的单调区间；
（2）根据题意，得t=ax²-4x+3在区间（-∞， $\text{[math]}$ ）上是增函数，在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是减函数，从而得到a＞0且f（x）的最大值为f（ $\text{[math]}$ ）=3，解之得a=1．
点评：本题给出指数型复合函数，讨论函数的单调区间并求函数的最值，着重考查了指数函数的单调性和二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．