Question

4．连接原点O和抛物线2y=x²上的动点M，延长OM到P点，使|OM|=|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．

Answer 1

分析 可设M（x₀，y₀），P（x，y），根据|OM|=|MP|便知M为OP的中点，根据中点坐标公式即可用x，y表示x₀，y₀，这样带入$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$即可得出点P的轨迹方程，从而可判断方程所表示的曲线．

解答 解：如图，
设M（x₀，y₀），P（x，y），则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}={x}_{0}}\\{\frac{y}{2}={y}_{0}}\end{array}\right.$；
∵点M在抛物线上；
∴$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$；
∴$2•（\frac{y}{2}）=（\frac{x}{2}）^{2}$；
整理得x²=4y；
∴P点的轨迹为顶点在原点，焦点在y正半轴的抛物线．

点评 考查函数轨迹及轨迹方程的概念，抛物线的标准方程，以及动点轨迹方程的求解过程，中点坐标公式．