题目内容

给定 A (-2,2),已知 B 是椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
上的动点,F 是左焦点,当|AB|+
5
3
|BF|取最小值时,求B的坐标.
分析:由椭圆的第二定义e=
|BF|
|BN|
=
3
5
可求得BN|=
5
3
|BF|,利用化折为直的思想即可求得当|AB|+
5
3
|BF|取最小值时,B 的坐标.
解答:解:记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,离心率为e.则a=5,b=4,c=
a2-b2
=
52-42
=3,
e=
c
a
=
3
5
,左准线为x=-
25
3

过点B作左准线x=-
25
3
的垂线,垂足为N,过A作此准线的垂线,垂足为M.由椭圆定义,
|BN|=
|BF|
e
=
5
3
|BF|.
于是,|AB|+
5
3
|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值),等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时,此时B(-
5
3
2
,2)
所以,当|AB|+
5
3
|BF|取最小值时,B的坐标为(-
5
3
2
,2).
点评:本题考查椭圆的简单性质,突出考查椭圆第二定义的应用,考查转化与方程思想,求得BN|=
5
3
|BF|是关键,也是难点,属于中档题.
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