Question

在圆x²+y²=5x内，过点(

5

2

，

3

2

)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a₁，最长弦长为a_n，若公差d∈(

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合

 

．

Answer 1

分析：由题意过点(

5

2

，

3

2

)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a₁，最长弦长为a_n，利用圆中的弦长公式求出a₁，a_n又由于，成等差数列，得到公差d，利用公差的范围及n为正整数逼出n的取值．

解答：解：∵圆的方程为x²+y²=5x，化成圆的标准方程为：(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，
由此可以知道圆心：(

5

2

，0)圆的半径为

5

2

，
利用圆的性质可以知道最短弦应为过已知定点与圆心连线垂直的弦最短由此得a₁=

2	( 5 2 )2-[ ( 5 2 - 5 2 ) 2( 3 2 -0)2 ]

=4，
最长弦为过定点的圆的直径an=

5

2

×2=5，∴d=

an-a1

n-1

=

1

n-1

，
∵

1

6

＜d≤

1

3

，∴

1

6

＜

1

n-1

≤

1

3

，
∴3≤n-1＜6，∴4≤n＜7，n∈N⁺，
∴n=4，5，6；
故答案为：n=4，5，6．

点评：此题重点考查了圆中求解弦的最大与最小，还考查了等差数列的任意两项间的通项公式及利用公差的范围和n的取值范围逼出n的数值．