Question

下列四个命题中，正确的命题序号是

（1）（4）

（1）对于函数f（x）=（2x-x²）e^x，f(-

2

)是f（x）的极小值，f(

2

)是f（x）的极大值；
（2）设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位；
（3）已知平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），则向量

1

2

a

-

3

2

b

=（-2，-1）；
（4）已知P，Q为抛物线x²=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为-4．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性，判断极大值与极小值，判断（1）的正误；
（2）当自变量增加一个单位时对应的解析式，把所得的解析式同原来的解析式进行比较，得到y的值平均减少2.5个单位，判断（2）的正误．
（3）直接利用向量的坐标运算求出

1

2

a

-

3

2

b

的结果判断正误即可．
（4）通过P，Q的横坐标区别纵坐标，求出二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可得到点A的纵坐标．判断正误即可．

解答：解：对于（1），因为函数f（x）=（2x-x²）e^x，所以f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±

2

，
由f′（x）＜0得x＞

2

或x＜-

2

，由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-

2

），（

2

，+∞），单调增区间为（-

2

，

2

）；
∴f（x）的极大值为f（

2

），极小值为f（-

2

），故（1）正确．
对于（2），∵回归方程

y

=3-2.5x，①当自变量由x变为x+1时，y=3-2.5（x+1）②，∴②-①得y-

?

y

=-2.5
即当自变量增加一个单位时，y的值平均减少2.5个单位，所以（2）不正确；
对于（3），平面向量

a

=（1，1），

b

=（1，-1），则向量

1

2

a

-

3

2

b

=

1

2

(1，1)-

3

2

(1，-1)=（-1，2），所以（3）不正确．
对于（4），因为点P，Q的横坐标分别为4，-2，代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．
由x²=2y，则y=

1

2

x²，所以y′=x，过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8，y=-2x-2 联立方程组解得x=1，y=-4 故点A的纵坐标为-4．所以（4）正确．
正确命题有（1）（4）．
故答案为：（1）（4）．

点评：本题考查函数的导数与函数的极值的求法，线性回归方程的意义，排趋性的简单性质，向量的基本运算，考查知识点多，计算比较麻烦，解题需要仔细认真．