Question

已知函数f(x)的导数f′(x)＝3x²－3ax，f(0)＝b，a，b为实数，1<a<2.

(1)若f(x)在区间[－1,1]上的最小值、最大值分别为－2、1，求a、b的值；

(2)在(1)的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程；

(3)设函数F(x)＝[f′(x)＋6x＋1]·e^2x，试判断函数F(x)的极值点个数.

Answer 1

(1)由已知得，f(x)＝x³－ax²＋b，由f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝a.

∵x∈[－1,1]，1<a<2，∴当x∈[－1,0)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(0,1]时，f′(x)<0，f(x)递减，∴f(x)在区间[－1,1]上的最大值为f(0)＝b，

∴b＝1.

又f(1)＝1－a＋1＝2－a，f(－1)＝－1－a＋1＝－a，∴f(－1)<f(1).

由题意得f(－1)＝－2，即－a＝－2，得a＝，故a＝，b＝1为所求.

(2)由(1)得f(x)＝x³－2x²＋1，f′(x)＝3x²－4x，点P(2,1)在曲线f(x)上.

①当切点为P(2,1)时，切线l的斜率k＝f′(x)|_x＝2＝4，

∴l的方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.

②当点P不是切点时，设切点O(x₀，y₀)(x₀≠2)，切线l的斜率

k＝f′(x)|x＝x₀＝3x－4x₀，

∴l的方程为y－y₀＝(3x－4x₀)(x－x₀)，

又点P(2,1)在l上，∴1－y₀＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴1－(x－2x＋1)＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴x(2－x₀)＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴x＝3x－4x₀，即2x₀(x₀－2)＝0，

∴x₀＝0，∴切线l的方程为y＝1.

故所求切线l的方程为4x－y－7＝0或y＝1.

(3)F(x)＝(3x²－3ax＋6x＋1)·e^2x＝[3x²－3(a－2)x＋1]·e^2x，

∴F′(x)＝[6x－3(a－2)]·e^2x＋2[3x²－3(a－2)x＋1]·e^2x＝[6x²－6(a－3)x＋8－3a]·e^2x.

二次函数y＝6x²－6(a－3)x＋8－3a的判别式为

Δ＝36(a－3)²－24(8－3a)＝12(3a²－12a＋11)＝12[3·(a－2)²－1]，令Δ≤0，得：(a－2)²≤，2－≤a≤2＋，令Δ>0时，得a<2－或a>2＋.

∵e^2x>0,1<a<2，∴当2－≤a<2时，F′(x)≥0，函数F(x)为单调递增函数，极值点个数为0；

当1<a<2－时，此时方程F′(x)＝0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F(x)有两个极值点.