题目内容
若地球半径为R,在北纬45°圈上有A、B两点,且这两点间的球面距离为
R,则北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为( )
π |
3 |
分析:如图,Q为北纬45°圈 的圆心,△QAB,OAB均为等腰三角形,设M为AB中点,可知∠OMQ为所求角.由已知,求出QM,OM再在RT△OMQ中求解即可.
解答:
解:如图,A、B两点间的球面距离为以O为圆心,且过A,B的圆中弧AB的长度,
设∠AOB=α,则α•R=
R,α=
.,
又OA=OB,∴△AOB为正三角形,∴AB=R.
设Q为北纬45°圈的圆心,则由球的截面圆形状可知,OQ⊥⊙Q面,∠OAQ=45°,
且截面圆半径长QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=
R.
在△QAB中,QA2+QB2=AB2,得△QAB为等腰直角三角形.
设M为AB中点,连接QM,OM,则OM⊥AB,QM⊥AB,
∴∠OMQ为北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的平面角.
在RT△OMQ中,cos∠OMQ=
=
=
=
所以所求二面角的余弦值是
故选B.

设∠AOB=α,则α•R=
π |
3 |
π |
3 |
又OA=OB,∴△AOB为正三角形,∴AB=R.
设Q为北纬45°圈的圆心,则由球的截面圆形状可知,OQ⊥⊙Q面,∠OAQ=45°,
且截面圆半径长QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=
| ||
2 |
在△QAB中,QA2+QB2=AB2,得△QAB为等腰直角三角形.
设M为AB中点,连接QM,OM,则OM⊥AB,QM⊥AB,
∴∠OMQ为北纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的平面角.
在RT△OMQ中,cos∠OMQ=
QM |
OM |
| ||
|
| ||||
|
| ||
3 |
所以所求二面角的余弦值是
| ||
3 |
故选B.
点评:本题考查面面角的大小计算,结合了球的有关性质:球的截面圆的性质,纬度的意义,球面距离的概念.需具有一定的空间想象能力、转化、计算能力.

练习册系列答案
相关题目