Question

已知函数y=a-bcosx的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

，求实数y=-2sinbx+a的最值．

Answer 1

分析：根据题意可对对b分b≥0与b＜0两种情况讨论，再结合三角函数性质列关于a与b的方程，求得a、b，从而求得其最值．

解答：解：∵-1≤cosx≤1，y=a-bcosx的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

，
∴当b≥0时，

a+b= 3 2 a-b=- 1 2

解得a=

1

2

，b=1；此时y=-2sinbx+a=-2sinx+

1

2

，y_max=

5

2

，y_min=-

3

2

；
当b＜0时，

a-b= 3 2 a+b=- 1 2

解得a=

1

2

，b=-1；此时y=-2sinbx+a=2sinx+

1

2

，y_max=

5

2

，y_min=-

3

2

；
综上所述，y_max=

5

2

，y_min=-

3

2

．

点评：本题考查三角函数的最值，关键在于对b分b≥0与b＜0两种情况讨论，着重考查正弦函数与余弦函数的性质及分类讨论与方程思想，属于中档题．