题目内容
【题目】已知分别为椭圆
的上、下焦点,
是抛物线
的焦点,点
是
与
在第二象限的交点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)与圆相切的直线
交椭圆
于
,若椭圆
上一点
满足
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
且
,且
.
【解析】
试题分析:(1)利用抛物线的方程和定义,即可求出点的坐标,再利用椭圆的定义即可求出椭圆
的方程;(2)根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离定于半径,可得
,联立直线与椭圆方程,结合椭圆上一点
满足
,可得
的表达式,进而求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)由题知,所以
,
又由抛物线定义可知,得
,
于是易知,从而
,
由椭圆定义知,得
,故
,
从而椭圆的方程为.
(2)设,
,
,则由知
,
,
,且
,………………①
又直线与圆
相切,所以有
,
由,可得
,………………②
又联立,消去
得
.
且恒成立,且
,
,
所以,所以得
代入①式得,所以
,
又将②式代入得,,
,
,
易知,且
,所以
.
所以的取值范围为
且
,且
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