题目内容

矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则当x=    时，y有最小值．
【答案】分析：由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC=BP+PC，可以得到 x，y的关系式，利用换元法结合二次函数的性质，可得答案．
解答：解：∵形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=
在Rt△FAP中，AP=
在Rt△ABP中，BP=
∵BC=BP+PC=+=y
整理得y2==，令t=
则y2=，
则当t=，即x=时，y取最小值．
故答案为：
点评：本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的综合应用，运算量比较大，而且得到的x，y的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表达式．
练习册系列答案
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如图，椭圆C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆C2：x2+y2=
t
2
2
与C0相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：
t
2
1
+
t
2
2
为定值．
（2012•辽宁）如图，已知椭圆C0：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2+y2=
t
2
1
，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C2：x2+y2=
t
2
2
与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：
t
2
1
+
t
2
2
为定值．
如图,矩形ABCD与矩形AB′C′D全等,且所在平面所成的二面角为α,记两个矩形对角线的交点分别为Q,Q′,AB=a,AD=b.

(1)求证:QQ′∥平面ABB′;

(2)当b=2a,且α=时,求异面直线AC与DB′所成的角;

(3)当a＞b,且AC⊥DB′时,求二面角α的余弦值(用a,b表示).

如图，椭圆C：，a，b为常数），动圆，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C的左，右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．
如图，已知椭圆C：，动圆C1：．点A1，A2分别为C的左右顶点，C1与C相交于A，B，C，D四点．
（I）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（II）设动圆C2：与C0相交于A'，B'，C'，D'四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，证明：为定值．

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