Question

数列{an}满足：a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-1

an=6-

2n+3

2n-1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足：c_n=a_n+2，又{b_n}是首项为6，公差为1的等差数列，且对任意正整数n，不等式

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用递推式，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0等价于a≤

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

，确定右边的单调性，求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）∵a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-1

an=6-

2n+3

2n-1

，
∴n≥2时，a1+

1

2

a2+

1

22

a3+…+

1

2n-2

an-1=6-

2n+1

2n-2

∴两式相减可得

1

2n-1

an=

2n-1

2n-1

∴a_n=2n-1
n=1时，a₁=1，也满足上式，
∴a_n=2n-1
（2）c_n=a_n+2=2n+1，
∵{b_n}是首项为6，公差为1的等差数列，
∴b_n=n+5，

a

(1+ 1 c1 )(1+ 1 c2 )(1+ 1 c3 )…(1+ 1 cn )

-

1

n-2+bn

≤0等价于a≤

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

令f（n）=

4 3 • 6 5 •… 2n+2 2n+1

2n+3

，则f（n+1）=

4 3 • 6 5 •… 2n+4 2n+3

2n+5

∴

f(n+1)

f(n)

=

2n+4

(2n+3)(2n+5)

=

4n2+16n+16 4n2+16n+15

＞1
∴f（n+1）＞f（n）
∴n=1时，f（n）最小，即

4 5

15

∴a≤

4 5

15

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．