Question

已知f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期为π．
（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，把所得到的图象再向左平移

π

6

单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g(x)在区间[-

π

8

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换公式化简，得f（x）=sin（2ωx-

π

6

），利用周期公式算出ω=1，得f（x）的表达式为f（x）=sin（2x-

π

6

），再根据正弦函数单调区间的公式加以计算，即可得到f（x）的单调递增区间；
（2）根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合诱导公式算出g（x）=cos4x，再根据余弦函数的图象与性质即可求出g（x）在区间[-

π

8

，

π

6

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）根据题意，可得
f（x）=sin²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1

2

（1-cos2ωx）+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

），
∵函数f（x）的最小正周期π，∴

2π

2ω

=π，解之得ω=1
由此可得f（x）的表达式为f（x）=sin（2x-

π

6

），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（2）将函数y=sin（2x-

π

6

）的图象，纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的

1

2

，
可得函数y=sin（4x-

π

6

）的图象；再将所得图象向左平移

π

6

单位，得函数y=sin[4（x+

π

6

）-

π

6

]的图象，
∴g（x）=sin[4（x+

π

6

）-

π

6

]=sin（4x+

π

2

）=cos4x，
当x∈[-

π

8

，

π

6

]时，-

π

2

≤4x≤

2π

3

，
∴cos

2π

3

≤cos4x≤cos0，即-

1

2

≤cos4x≤1，
可得函数g（x）在区间[-

π

8

，

π

6

]的最小值为g（

π

6

）=-

1

2

；最大值为g（0）=1．

点评：本题着重考查了三角恒等变换公式、诱导公式和周期公式，考查了三角函数图象变换和余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．