题目内容

P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是
5
4
，且∠F1PF2=900，若△F1PF2的面积为9，则a+b的值（a＞0，b＞0）等于（　　）
分析：根据双曲线的离心率是
5
4
，且∠F1PF2=90°，若△F1PF2的面积为9，结合双曲线的定义，构建方程组，即可求得几何量，从而求出a+b的值．
解答：解：由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则
1
2
mn=9
m-n=2a
m2+n2=4c2
c
a
=
5
4
，∴a=4，c=5
∴b=
c2-a2
=3
∴a+b=7
故选B．
点评：本题以双曲线的性质为载体，考查双曲线的标准方程，解题的关键是利用焦点三角形，利用双曲线的定义构建方程组．
练习册系列答案
相关题目
P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为（　　）
A、-aB、aC、-cD、c
已知P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
2ab
a2+b2
；
②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为
2
；
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是
 
．
设点P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞，b＞0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　）
已知A，B，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=
2
3
，则该双曲线的离心率为
15
3
15
3
．
椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：
P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任一点，焦点F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面积为b2
sinα
1+cosα
，类比，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面积为
b2
sinα
1-cosα
b2
sinα
1-cosα
．

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