Question

【题目】选修4﹣1：几何证明选讲
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：

（1）ACBD=ADAB；
（2）AC=AE．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，

同理可得∠ACB=∠DAB，

∴△ACB∽△DAB，∴ = ，

∴ACBD=ADAB．

（2）

解：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠AED=∠BAD，

又∠ADE=∠BDA，∴△EAD∽△ABD，

∴ = ，∴AEBD=ADAB．

再由（1）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE．

【解析】（1）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ACB=∠DAB，从而有△ACB∽△DAB， = ，由此得到所证．（2）利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD，又∠ADE=∠BDA，可得△EAD∽△ABD， = ，AEBD=ADAB，再结合（I）的结论ACBD=ADAB 可得，AC=AE