已知点F1.F2为双曲线C:x2-y2b2=1的左.右焦点.过F2作垂直于x轴的直线.在x轴上方交双曲线于点M.且∠MF1F2=300.圆O的方程为x2+y2=b2．(1)求双曲线C的方程,(2)若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d1.d2.求d1•d2的值,(3)过圆O上任意一点P(x0.y0)作切线l交双曲线C于A.B两个不同点.求OA•OB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知点F₁，F₂为双曲线C：x2-

=1(b＞0)的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2=300，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点到两条渐近线的距离分别为d₁，d₂，求d₁•d₂的值；
（3）过圆O上任意一点P（x₀，y₀）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，求

•

的值．

分析：（1）设F₂，M的坐标，利用点M在双曲线C上，∠MF₁F₂=30°，可得|MF1|-|MF2|=b2=2，利用双曲线的定义，可得双曲线C的方程；
（2）先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），求出点Q到两条渐近线的距离，结合Q（x₀，y₀）在双曲线C上，即可求d₁•d₂的值；
（3）解一：利用圆的参数方程设P的坐标，求出切线l的方程代入双曲线，两边除以x²，再利用韦达定理，即可得到结论；
解二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：x₀x+y₀y=2代入双曲线C中，利用韦达定理，结合向量的数量积，可得结论．

解答：解：（1）设F₂，M的坐标分别为(

1+b2

，0)，(

1+b2

，y0)-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以1+b2-

y02

=1，即y0=±b2，所以|MF2|=b2------------（2分）
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2------------（3分）
由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故双曲线C的方程为：x2-

=1-------------------（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1：

x-y=0；l2：

x+y=0-------------------（5分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），
则点Q到两条渐近线的距离分别为d1=

x0-y0|

，d2=

x0+y0|

-------------------（7分）
所以d1•d2=

x0-y0|

•

x0+y0|

|2x02-y02|

-------------------（8分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2-

=1上，所以2x02-y02=2-------------------（9分）
故d1•d2=

|2x02-y02|

-------------------（10分）
（3）解一：因为P（x₀，y₀）为圆O：x²+y²=2上任意一点，设x0=

cosα，y0=

sinα
所以切线l的方程为：xcosα+ysinα=

-------------------（12分）
代入双曲线C：2x²-y²=2=（xcosα+ysinα）²
两边除以x²，得(1+sin2α)(

)2+2sinαcosα(

)+cos2α-2=0-------------------（13分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

，

是上述方程的两个根
由韦达定理知：

y1y2

x1x2

cos2α-2

sin2α+1

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0-------------------（15分）
所以

•

=x1x2+y1y2=0-------------------（16分）
解二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：x₀x+y₀y=2-------------------（12分）
①当y₀≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0
所以：x1+x2=-

4x0

(2y02-x02)

，x1x2=-

(2y02+4)

(2y02-x02)

-------------------（13分）
又y1y2=

(2-x0x1)

•

(2-x0x2)

y02