Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）互相平行的两条直线分别过，且直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线的方程为或；相应地，直线的方程或

【解析】

由题意知,结合离心率和之间的关系即可求解;

由知,, 由对称性知四边形为平行四边形,分斜率存在和不存在两种情况分别求出四边形的面积的表达式,进而求出直线方程.

由题意知，因为椭圆的离心率为，

所以，解得，所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知焦点的坐标为，

①当直线的斜率不存在时，其直线方程分别是，

将代入椭圆，得，解得，

所以的坐标分别为或；

同理可得,的坐标分别为或；

则四边形的面积不合题意，

②当直线的斜率存在时，设此时直线的方程分别为.

联立消去，得，

设点，，则，，

所以

.

而直线之间的距离为，

由对称性知四边形为平行四边形，

所以四边形的面积为

，

又四边形的面积为，所以，

得，平方，化简得，

解得（舍去）或，所以，

故直线的方程为或；相应地，直线的方程或.