Question

我们把离心率等于黄金比例的椭圆称为“优美椭圆”．设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于（ ）
A．60°
B．75°
C．120°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：由于所以 验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．
解答：解：∵
∴
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=
∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠FBA等于 90°．
故选D．
点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．