Question

我们把离心率等于黄金比例

5 -1

2

的椭圆称为“优美椭圆”．设

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）

• A、60°
• B、75°
• C、120°
• D、90°

Answer 1

分析：由于

c

a

=

5 -1

2

所以 2c2=(3-

5

)a2验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．

解答：解：∵

c

a

=

5 -1

2

∴2c2=(3-

5

)a2
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a2
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠FBA等于 90°．
故选D．

点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．