Question

在直线l：x-y+9=0上任取一点P，过点P以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆.点P在何处时，所求椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程.

Answer 1

解：设所求椭圆的方程为=1，与x-y+9=0联立得（2a²-9）x²+18a²x+90a²-a⁴=0，点P在直线x-y+9=0上，所以Δ=（18a²）²-4(2a²-9)(90a²-a⁴)≥0，即a⁴-54a²+405≥0.解之得a²≥45或a²≤9,因为a＞c=3,所以a²≥45.所以椭圆的长轴最短时的方程为=1.联立=1和x-y+9=0得点P（-5，4）.

点拨：利用判别式可以确定参数的取值范围，再加以讨论便可得到最后的结果.