题目内容
【题目】已知函数在区间
上的最大值为4,最小值为1.
(1)求实数、
的值;
(2)记,若
在
上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)对于函数,用
,1,2,
,
,
将区间
任意划分成
个小区间,若存在常数
,使得和式
对任意的划分恒成立,则称函数
为
上的有界变差函数.记
,试判断函数
是否为在
上的有界变差函数?若是,求
的最小值;若不是,请说明理由.
(参考公式:
【答案】(1),
;(2)
或
;(3)是,6.
【解析】
(1)由已知中在区间
的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,构造出关于
,
的方程组,解得
,
的值;
(2)由的解析式可得
的解析式,讨论
的符号结合对勾函数的图象和单调性可得
的范围;
(3)根据有界变差函数的定义,我们先将区间进行划分,进而判断
是否恒成立,进而得到结论.
(1)函数
,因为
,
所以在区间
上是增函数,
又函数
故在区间
,
上的最大值为4,最小值为1,
,即
,
解得,
;
(2)由已知可得,
,
若在
上是单调函数,
若,即
,由两个增函数的和还是增函数,易得函数
在
递增;
若,函数
为对勾函数,结合图象可知:在
递增;
或
,解得:
或
.
综上所述:或
.
(3)函数为
上的有界变差函数.
因为函数为
递增,
递减,
上的单调递增函数,
且对任意划分,
有
恒成立,①
且对任意划分,
有,
恒成立,②
且对任意划分,
有,
恒成立,③
由①②③可得
,
存在常数
,使得
恒成立,
的最小值为6.
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