题目内容
【题目】已知,函数
讨论
的单调性;
若
是
的极值点,且曲线
在两点
处的切线相互平行,这两条切线在
轴上的截距分别为
,求
的取值范围
【答案】当
时,
在
上单调递减,无单调递增区间;当
时,
在
上单调递减,
上单调递增;
.
【解析】
(Ⅰ)求出导函数,对a分类讨论,解不等式即可得到函数的单调性;
(Ⅱ)由是
的极值点可知a=1,利用切线平行可得
,同理,
,构建新函数即可得到
的取值范围.
(Ⅰ).
当
时,
在
上恒成立.
在
上单调递减,无单调递增区间;
当
,且
,即
时,
在
上恒成立.
在
上单调递减,无单调递增区间;
当
,且
,即
时,在
上,
,在
上,
,
在
上单调递减,
上单调递增.
综上,当时,
在
上单调递减,无单调递增区间;当
时,
在
上单调递减,
上单调递增.
(Ⅱ)是
的极值点,
由
可知
设在处的切线方程为
在处的切线方程为
若这两条切线互相平行,则
,
令,则
,同理,
【解法一】
设,
,
在区间
上单调递减,
即的取值范围是
【解法二】
令,其中
函数
在区间
上单调递增,
.
的取值范围是
【解法三】
设,则
,
,
函数
在区间
上单调递增,
的取值范围是
.
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