题目内容

在一次代号为“东方雄师”的军事演习中，红军派出甲、乙两架轰炸机对蓝军的同一地面目标进行轰炸，已知甲轰炸机投弹1次命中目标的概率为 $数学公式$ ，乙轰炸机投弹1次命中目标的概率为 $数学公式$ ，两机投弹互不影响，每机各投弹2次，2次投弹之间互不影响．
（1）若至少2次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；
（2）记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

解：设A_k表示甲轰炸机命中目标k次，k=0，1，2，B_l表示乙轰炸机命中目标l次，l=0，1，2，则A_k，B_l相互独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
P（A_k）=C₂^k（ $\text{[math]}$ ）^k（ $\text{[math]}$ ）^2-k，P（B_l）=C₂^t（ $\text{[math]}$ ）^l（ $\text{[math]}$ ）^2-l．
据此算得P（A₀）= $\text{[math]}$ ，P（A₁）= $\text{[math]}$ ，P（A₂）= $\text{[math]}$ ．P（B₀）= $\text{[math]}$ ，P（B₁）= $\text{[math]}$ ，P（B₂）= $\text{[math]}$ ．
（1）所求概率为1-P（A₀B₀+A₀B₁+A₁B₀）=1-（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，则
P（ξ=0）=P（A₀B₀）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=1）=P（A₀B₁）+P（A₁B₀）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）=P（A₀B₂）+P（A₁B₁）+P（A₂B₀）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=3）=P（A₁B₂）+P（A₂B₁）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=4）=P（A₂B₂）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
综上知，ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

从而，ξ的数学期望Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意设A_k表示甲轰炸机命中目标k次，k=0，1，2，B_l表示乙轰炸机命中目标l次，l=0，1，2，则A_k，B_l相互独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式即可求得；
（2）由于记目标被命中的次数为随机变量ξ，利用题意可知ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，利用随机变量的定义及其分布列的定义即可求解其期望．
点评：此题考查了学生对于题意的理解能力，独立事件同时发生的概率公式，离散型随机变量的定义及离散型随机变量的分布列及期望，还考查了学生的计算能力．