Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在表面积为16π的球O的球面上，其中AB：AD：AA1=2：1：

3

，则四棱锥O-ABCD的体积为（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  2 6

  3

• C．2

  3

• D．3

Answer 1

分析：因为AB：AD：AA1=2：1：

3

，故可设AB、AD、AA₁分别为2x，x，

3

x，（x＞0），长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线等于其外接球O的直径，可解得三棱长，故可得到四棱锥O-ABCD的底面积和高，可求体积．

解答：解：因为AB：AD：AA1=2：1：

3

，故可设AB、AD、AA₁分别为2x，x，

3

x，（x＞0）
由题意可知，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体对角线等于其外接球O的直径，而由S=4πR²=16π，得
R=2，即2R=4，故4=

(2x)2+x2+( 3 x)2

，解得，x=

2

，故三边长分别为2

2

，

2

，

6

即四棱锥O-ABCD的底面为边长为2

2

，

2

的矩形，高为

6

2

∴四棱锥O-ABCD的体积V=

1

3

×2

2

×

2

×

6

2

=

2 6

3

，
故选B

点评：本题为长方体与外接球的问题，长方体的体对角线等于其外接球O的直径是解决问题的关键，属基础题．