题目内容

设定义在R上的奇函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,a,b,c,d∈R.当x=-1时,f(x)取得极大值
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(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)判断函数y=f(x)的图象上是否存在两点,使得以这两点为切点的切线互相垂直,且切
点的横坐标在区间[-
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]上,并说明理由;
(3)设xn=1-2-n,ym=
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(3-m-1)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<
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分析:本题考查的是利用导数求闭区间上的最值问题.在解答时,
对(1)充分利用所给性质:奇偶性、极值,即可找方程解参数;
对(2)是存在性问题,先假设存在两点满足题意,由切线垂直即可获得:f′(x1)•f′(x2)=-1.即可问题的解答;
对(3)应先将问题转化为函数在闭区间上的最值求解问题,要充分利用好xn、ym的范围.
解答:解:(1)因为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,则b=d=0.
所以f(x)=ax3+cx.
因为当x=-1时,f(x)取得极大值
2
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,f′(x)=3ax2+c,
所以
3a+c=0
-a-c=
2
3
解得
a=
1
3
c=-1
所以f(x)=
1
3
x3-x.

(2)存在满足题意的两点.
由(1),得f′(x)=x2-1.假设存在两切点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),x1,x2∈[-
2
2
].
则f′(x1)•f′(x2)=-1.所以(x12-1)(x22-1)=-1.
因为(x12-1),(x22-1)∈[-1,1],所以
x12-1=-1
x22-1=1
x1-1=1
x22-1=-1

解得
x1=0
x2
2
x1
2
x2=0
所以两切点的坐标分别为(0,0),(
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,-
2
3
)或(0,0),(-
2
2
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).

(3)因为当x∈[
1
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,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在[
1
2
,1)上递减.
由已知,得xn∈[
1
2
,1),所以f(xn)∈(f(1),f(
1
2
)],即f(xn)∈(-
2
3
,-
11
24
].
又x<-1时,f′(x)>0;-1<x<1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,-1)上递增,f(x)在(-1,1)上递减.
因为ym=
2
(3-m-1),所以ym∈(-
2
,-
2
2
3
].
因为-
2
<-1<-
2
2
3
,且f(-
2
)=
2
-
2
2
3
=
2
3
<f(-
2
2
3
)=
38
2
81

所以f(ym)∈(f(-
2
),f(-1)],即f(ym)∈(
2
3
2
3
].
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)<
2
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-(-
2
3
)=
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3
点评:本题考查的是利用导数求闭区间上的最值问题.在解答的过程当中充分体现了方程的思想、恒成立的思想和问题转化的思想.同时存在性问题的解答思路也在题目中获得了很好的展现.值得同学们体会和反思.
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