Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（I）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱锥A-A₁D₁E的体积．

Answer 1

分析：（I）根据已知中长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点，结合长方体的几何特征，我们可得AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，结合线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面A₁D₁E；
（II）由（I）的结论，我们可得AE即为三棱锥A-A₁D₁E的高，根据已知求出三棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，即可求出三棱锥A-A₁D₁E的体积．

解答：解：（I）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点
∴AE=A₁E=

2

，AA₁=2，
∴AA₁²=AE²+A₁E²
∴AE⊥A₁E
又∵D₁A₁⊥平面A₁EA，AE?平面A₁EA
∴AE⊥A₁D₁，又D₁A₁∩A₁E=A₁，
∴AE⊥平面A₁D₁E；
（II）由（I）中AE⊥平面A₁D₁E，
∴VA-A1D1E=

1

3

•S△A1D1E•AE=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

2

=

1

3

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，（1）中的关键是根据正方体的几何特征及勾股定理得到AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，（2）的关键是证得AE即为三棱锥A-A₁D₁E的高．