题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上.
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=anbn , 求数列{cn}的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an﹣2∴a1=S1=2a1﹣2,解得a1=2
a1+a2=S2=2a2﹣2,解得a2=4
(2)解:∵Sn=2an﹣2,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,
又Sn﹣Sn﹣1=an,n≥2
∴an=2an﹣2an﹣1,
∵an≠0,
∴ =2(n≥2),即数列{an}是等比数列,∵a1=2,∴an=2n
∵点P(bn,bn+1)在直线x﹣y+2=0上,∴bn﹣bn+1+2=0,
∴bn+1﹣bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,∴bn=2n﹣1
(3)解:∵cn=(2n﹣1)2n
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)2n,
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1
因此:﹣Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)﹣(2n﹣1)2n+1,
即:﹣Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)﹣(2n﹣1)2n+1,
∴Tn=(2n﹣3)2n+1+6
【解析】(1)先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1 , 再把2代入即可求a2的值;(2)利用Sn=2an﹣2,可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2,两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系,找到规律即可求出通项;对于数列{bn},直接利用点P(bn , bn+1)在直线x﹣y+2=0上,代入得数列{bn}是等差数列即可求通项;(3)先把所求结论代入求出数列{cn}的通项,再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题.