题目内容
【题目】如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1 ， k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点 
（1）若k1+k2=0， 
，求线段MN的长；
（2）若k1k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．
【答案】
（1）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则
设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣ 
y﹣8=0
∴y1+y2= ，y1y2=﹣8，
∵ 
，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，
∴yM=1，
∵k1+k2=0，
∴线段AB和CD关于x轴对称，
∴线段MN的长为2
（2）解：∵k1k2=﹣1，∴两直线互相垂直，
设AB：x=my+2，则CD：x=﹣ 
y+2，
x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，
则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴M（2m2+2，2m）．
同理N（ 
+2，﹣ 
），
∴|PM|=2|m| 
，|PN|= ，|
∴S△PMN= 
|PM||PN|= 
（m2+1）=2（|m|+ ）≥4，
当且仅当m=±1时取等号，
∴△PMN面积的最小值为4
【解析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用 ，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；（2）若k1k2=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值．
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