题目内容
已知函数f(x)=x3+x2，数列{xn}(xn＞0)的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过(0,0)和(xn，f(xn))两点的直线平行(如图).求证：当n∈N*时，
(1)
+xn=3
+2xn+1；
(2)(
)n-1≤xn≤(
)n-2.
证明：(1)∵f′(x)=3x2+2x,
∴曲线y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线斜率kn+1=3
+2xn+1.
∵过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线斜率是+xn.
所以+xn=3+2xn+1.
(2)因为函数h(x)=x2+x当x＞0时单调递增.
而+xn=3
+2xn+1≤4
+2xn-1=(2xn-1)2+2xn+1.
∴x≤2xn+1，即
≥
.
因此xn=
·
·…·
≥(
)n-1.
又
+xn≥2(
+xn+1),
令yn=
+xn,
则
≤
.
∵y1=x21+x1=2,∴yn≤(
)n-1·y1=(
)n-2.
因此xn≤
+xn≤(
)n-2.
故(
)n-1≤xn≤(
)n-2.
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