Question

18．f（x）=（log₃ x）²+（a-1）log₃x+3a-2，（x＞0，a∈R）．
（1）若函数f（x）的值域是[2，+∞），求a的值；
（2）若f（3x）+log₃（9x）≤0对于任意x∈[3，9]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）log₃ x=t，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求函数的最值．
（2）设log₃ 3x=m，则m∈[2，3]，得到m²+am+3a-1≤0，对于m∈[2，3]恒成立，利用二次函数的性质得到，解得即可．

解答 解：（1）log₃x=t，
∴g（t）=t²+（a-1）t+3a-2，开口向上，
当t=$\frac{1}{2}$（1-a）时，函数有最小值，
f（$\frac{1}{2}$（1-a））=$\frac{1}{4}$（1-a）²+$\frac{1}{2}$（a-1）（1-a）+3a-2=2，
解得a=7±4$\sqrt{2}$，
（2）∵f（3x）+log₃（9x）≤0任意x∈[3，9]恒成立，
∴（log₃ 3x）²+（a-1）log₃3x+3a-2+log₃（9x）≤0，
再设log₃ 3x=m，则m∈[2，3]，
∴m²+（a-1）m+3a-2+1+m≤0，对于m∈[2，3]恒成立，
即m²+am+3a-1≤0，
设h（m）=m²+am+3a-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（2）≤0}\\{h（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2a+3a-1≤0}\\{9+3a+3a-1≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{4}{3}$
∴a的取值范围（-∞，-$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查函数的最值的求法，利用换元法将函数转化为二次函数的解决本题的关键，考查学生的计算能力．