Question

已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，求点O到直线l的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程为．由题意可得，解出即可．
（2）直线l的方程与椭圆方程联立即可得到根与系数的关系，再利用?，及点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为．
由题意可得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立，消去y得到（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0．
∵△＞0，∴64k²m²-16（3+4k²）（m²-21）=0，化为m²=21+28k²．（*）
∴，．（**）
∵OP⊥OQ，∴．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
∴．
把（**）代入可得．
化为m²=12+12k²=12（1+k²），∴．
∴点O到直线l的距离d==．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．