题目内容
某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金| b |
| n |
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；
（2）证明：ak＞ak+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求
| lim |
| n→∞ |
| lim |
| n→∞ |
| 1 |
| n |
| 1 |
| e |
分析：（1）根据题意可知a1进而利用余额除以n发给第2位职工，求得a2=
（1-
）•b，同理可求得a3．以此类推发现数列成等比数列，公比为1-
，进求得ak．
（2）根据（1）中的ak进而代入ak-ak+1结果大于0，由题意可知业绩大的在数列的前面，且拿的奖金多，进而可判断出此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）根据题意可分别表示出f1（b），f2（b），推断出fk（b），进而利用极限的基本运算求得
Pn（b）．
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
（2）根据（1）中的ak进而代入ak-ak+1结果大于0，由题意可知业绩大的在数列的前面，且拿的奖金多，进而可判断出此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）根据题意可分别表示出f1（b），f2（b），推断出fk（b），进而利用极限的基本运算求得
| lim |
| n→∞ |
解答：（1）解：a1=
，a2=
（1-
）•b，a3=
（1-
）2•b，…，ak=
（1-
）k-1•b．
（2）证明：ak-ak+1=
（1-
）k-1•b＞0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．
（3）解：设fk（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
则f1（b）=（1-
）•b，f2（b）=（1-
）2•b，…，fk（b）=（1-
）k•b，
得Pn（b）=fn（b）=（1-
）n•b，
故
Pn（b）=
．
| b |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
（2）证明：ak-ak+1=
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n |
（3）解：设fk（b）表示发给第k位职工后所剩余额，
则f1（b）=（1-
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
得Pn（b）=fn（b）=（1-
| 1 |
| n |
故
| lim |
| n→∞ |
| b |
| e |
点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
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Pn
元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. 
Pn（b）.
元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
Pn（b）（可用公式
（1-
）n=
）．