Question

已知tan2θ=-

5

2

，且3π＜2θ＜4π．
求：（1）tanθ；
（2）

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先判断角θ的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；
（2）由题意，先化简

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2? 2 (1-tanθ)

1+tanθ

，再将tanθ=-

5

5

代入计算出答案．

解答：解：（1）由题意3π＜2θ＜4π，得

3π

2

＜θ＜2π是第四象限角
又tan2θ=-

5

2

，
∴

2tanθ

1-tan2θ

=-

5

2

，解得tanθ=-

5

5

（2）由题，

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2 2 (sinθ-cosθ)

-sinθ-cosθ

=

2 2 (-sinθ+cosθ)

sinθ+cosθ

=

2 2 (1-tanθ)

1+tanθ

将tanθ=-

5

5

代入得

sin(θ- π 4 )

2sin2 θ 2 -sinθ-1

=

2 2 (1+ 5 5 )

1- 5 5

=

10 +2  2

4

点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷．本题考查了利用公式变形计算的能力．