题目内容

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2（a2+b2-c2）=3ab，
（1）求cosC；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．
分析：（1）由题意得，2（a2+b2-c2）=3ab，即（a2+b2-c2 ）=
3ab
2
，则由余弦定理可得cosC=
a2+b2-c2
2ab
 的值．
（2）当c=2时，由基本不等式可得 a2+b2-4=
3
2
ab≥2ab-4，ab≤8，故S△ABC=
1
2
absinC=
7
8
ab≤
7
．
解答：解：（1）由题意得，2（a2+b2-c2）=3ab，∴（a2+b2-c2 ）=
3ab
2
，则由余弦定理可知，cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
3
4
．
（2）当c=2时，a2+b2-4=
3
2
ab≥2ab-4，∴
1
2
ab≤4，即ab≤8，
当且仅当a=b=2
2
时取等号，而cosC=
3
4
，∴sinC=
7
4
，
从而S△ABC=
1
2
absinC=
7
8
ab≤
7
，即面积得最大值为
7
．
点评：本题考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，求出ab≤8，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：①
AH
•(
AC
-
AB
)=0；
②
AB
•
BC
＜0⇒△ABC为钝角三角形；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=csinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=a2，其中正确的个数是（　　）
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足b+c=
3
a，设
m
=[cos（
π
2
+A），-1]，
n
=（cosA-
5
4
，-sinA），
m
∥
n
，试求角B的大小．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）证明：
a+b
2a+b
＞
c
a+c
；
（2）证明：不论x取何值总有b2x2+（b2+c2-a2）x+c2＞0；
（3）若a＞c≥2，证明：
1
a+c+1
-
1
(c+1)(a+1)
＜
1
6
．
已知△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c且角A，B、C成等差数列，△ABC的面积S=
b2-(a-c)2k
，则实数k的值为
 
．
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=
2
，向量
m
=(-1，1)，
n
=(cosBcosC，sinBsinC-
2
2
)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）当sinB+cos(
7π
12
-C)取得最大值时，求角B的大小和△ABC的面积．

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