题目内容
在锐角△ABC中,三个内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,设







(1)若b=2

(2)求b+c的最大值.
【答案】分析:(1)通过向量的数量积二倍角的余弦函数,求出A的二倍角的余弦值,然后求出A.通过正弦定理求出R,然后求出三角形的面积.
(2)解法1:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,结合不等式求出b+c的最大值为4
.
解法2:由正弦定理得:
=
,利用两角和与差的三角函数,根据角的范围,求出b+c的最大值.
解答:解:(1)
•
=2sin(
-A)sin(
+A)-1
=2sin(
-A)cos(
-A)-1
=sin(
-2A)-1=cos2A-1=-
,
∴cos2A=-
,…(3分)
∵0<A<
,∴0<2A<π,∴2A=
,A=
…(4分)
设△ABC的外接圆半径为R,由a=2RsinA得2
=2R×
,∴R=2
由b=2RsinB得sinB=
,又b<a,∴B=
,…(5分)
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
•
+
•
=
,…(6分)
∴△ABC的面积为S=
absinC=
•2
•2
•
=3+
.…(7分)
(2)解法1:由a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=12,…(9分)
∴(b+c)2=3bc+12≤3(
)2+12,…(11分)
∴(b+c)2≤48,即b+c≤4
,(当且仅当b=c时取等号)
从而b+c的最大值为4
.…(12分)
解法2:由正弦定理得:
=
=
=
=4,又B+C=π-A=
,…(8分)
∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(
-B)]=6sinB+2
cosB=4
sin(B+
),…(10分)
∴当B+
=
,即B=
时,b+c取得最大值4
.…(12分)
点评:本题考查正弦定理与余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力,转化思想的应用.
(2)解法1:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,结合不等式求出b+c的最大值为4

解法2:由正弦定理得:


解答:解:(1)




=2sin(


=sin(


∴cos2A=-

∵0<A<



设△ABC的外接圆半径为R,由a=2RsinA得2


由b=2RsinB得sinB=


∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=





∴△ABC的面积为S=






(2)解法1:由a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=12,…(9分)
∴(b+c)2=3bc+12≤3(

∴(b+c)2≤48,即b+c≤4

从而b+c的最大值为4

解法2:由正弦定理得:





∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(




∴当B+




点评:本题考查正弦定理与余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力,转化思想的应用.

练习册系列答案
相关题目