题目内容

设数列满足 $数学公式$ ，令 $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比数列，试确定m，n的值．

（I ）证明：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为公差，以 $\text{[math]}$ 为首项的等差数列
由等差数列的通项公式可得， $\text{[math]}$
（Ⅱ）解：由（1）知 $\text{[math]}$ ，
存在m，n∈N^*，n≤10使得b₆，a_m，a_n依次成等比数列
则 $\text{[math]}$ ，整理可得（m²-1）²=12（n²-1）
左面（m²-1）²是完全平方数，则12（n²-1）=4×3（n²-1）²也一定是完全平方数
∴n²-1可设为3k，k∈N^*，且k是完全平方数n≤10，
∴n²=3k+1
∴当k=1时，n=2，m不存在
当k=4时，n不存在
当k=9时，n不存在
当k=16时，m=5，n=7
综上可得k=16时，m=5，n=7
分析：由已知可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可证
（Ⅱ）由（1）知 $\text{[math]}$ ，代入可得（m²-1）²=12（n²-1），结合左面是完全平方数，则n²-1可设为3k，
则n²=3k+1，检验可求k，进而可求m，n
点评：本题主要考查了利用构造证明等差数列，及等差数列的通项公式的应用，解答（II）要求考生具备一定综合应用知识解决综合问题的能力．