题目内容
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M-1以及椭圆
在M-1的作用下的新曲线的方程．（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线
（t为参数），
（θ为参数）．（Ⅰ）当
时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求
的最大值．
【答案】分析：（1）（Ⅰ）先求出矩阵M，然后利用特征多项式建立方程求出它的特征值，最后分别求出特征值所对应的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M-1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．
（2）（Ⅰ）先写出C1的普通方程和C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组即可解得C1与C2的交点；
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），从而得出当α变化时，P点轨迹的参数方程即可．
（3）根据柯西不等式
•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=
，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为
及
；（4分）
（Ⅱ）
，椭圆
在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．（7分）
（2）（Ⅰ）当
时，C1的普通方程为
，
C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组
，
解得C1与C2的交点为（1，0），
．（4分）
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：
（α为参数）（7分）
（3）由柯西不等式得
•（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
当且仅当a=b=c=
时等号成立
故
的最大值为
．（7分）
点评：本题主要考查来了逆变换与逆矩阵，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．
（Ⅱ）先求出矩阵M的逆矩阵，然后利用点在矩阵M-1的作用下的点的坐标，化简代入椭圆方程求出新的曲线方程．
（2）（Ⅰ）先写出C1的普通方程和C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组即可解得C1与C2的交点；
（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），从而得出当α变化时，P点轨迹的参数方程即可．
（3）根据柯西不等式
•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）由条件得矩阵M=
，它的特征值为2和3，对应的特征向量为
及；（4分）（Ⅱ）
，椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．（7分）（2）（Ⅰ）当
时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组
，解得C1与C2的交点为（1，0），
．（4分）（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0．A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：
（α为参数）（7分）（3）由柯西不等式得
•（4a+1+4b+1+4c+1）=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
当且仅当a=b=c=
时等号成立故
的最大值为．（7分）点评：本题主要考查来了逆变换与逆矩阵，以及圆的参数方程和直线的参数方程，以及不等式的证明等基础知识，是一道综合题，属于中档题．
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