Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，请考生任选2题作答．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所对应的变换T_M把直线L：2x-y=3变换为自身，求实数a，b，并求M的逆矩阵．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：

x=t y=1+2t

（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
②判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）为直线2x-y=3上的任意一点，其在M的作用下变为（x′，y′），通过T_M找到x′、y′和x、y的关系，将
x′、y′代入直线方程，与原方程一样，即可求出实数a，b．用待定系数法求M的逆矩阵即可．
（2）①直线l的参数方程中的t消掉，即得直线l的普通方程；圆C的极坐标方程展开，利用ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入即得圆的普通方程．
②利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可．
（3）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，转化为f（x）≤（

|a+b|+|a-b|

|a|

）_min
由绝对值不等式的性质求

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值即可．

解答：解：（1）设P（x，y）为直线2x-y=3上的任意一点，其在M的作用下变为（x′，y′），
则

-1 a b 3

 

x   y

=

-x+ay   bx+3y

=

x′   y′

，
∴

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得-（b+2）x+（2a-3）y=3，与2x-y=3完全一样，
得

-b-2=2 2a-3=-1

解得

a=1 b=-4

所以M=

-1 1 -4 3

所以M^-1=

3 -1 4 -1

（2）直线l的参数方程：

x=t y=1+2t

（t为参数），消去参数得y=1+2x
圆C的极坐标方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)=2（sinθ+cosθ），所以ρ²=2ρ（sinθ+cosθ），
化为直角坐标方程直角方程为x²+y²=2x+2y
即（x-1）²+（y-1）²=2
圆心为C（1，1），半径为r=

2

②圆心C到直线y=1+2x的距离为d=

2-1+1

5

=

2 5

5

＜

2

所以直线l和圆C相交．
（3）因为|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|
所以

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值为2．
若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，
所以f（x）≤（

|a+b|+|a-b|

|a|

）_min=2
即|x-1|+|x-2|≤2
由绝对值的几何意义得

1

2

≤x≤

5

2

化为直角坐标方程直角方程为

点评：本题考查二阶矩阵、逆矩阵及矩阵变换，考查参数方程和极坐标与直角坐标系方程的转化、直线和圆位置关系的判断，考查绝对值不等式的意义和解绝对值不等式，不等式恒成立问题．