Question

16．已知a∈{x|（$\frac{1}{2}$）^x-x=0}，则函数f（x）=a^{（x2-2x-3）}的单调递增区间为（-∞，1]．

Answer 1

分析 容易判断函数$g（x）=（\frac{1}{2}）^{x}-x$的零点在（0，1）内，从而得出a∈（0，1），从而得到a^t在R上为减函数，从而根据复合函数的单调性，只要求二次函数t=x²-2x-3的单调递减区间，便可得出f（x）的单调递增区间．

解答 解：设g（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}-x$，该函数在R上为减函数；
又g（0）=1，g（1）=$-\frac{1}{2}$；
∴g（x）在区间（0，1）内存在零点；
又$a∈\{x|（\frac{1}{2}）^{x}-x=0\}$；
∴a∈（0，1）；
f（x）是由a^t，和t=x²-2x-3符合而成，a^t在R上为减函数；
又函数x²-2x-3的单调递减区间为（-∞，1]；
∴复合函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 考查函数零点的概念，以及判断零点所在区间的方法，指数函数的单调性，以及二次函数的单调性及单调区间，复合函数的单调区间的求法．