Question

在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3，

π

6

)，半径r=1，Q点在圆C上运动．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若P在直线OQ上运动，且

.

OQ

=

2

3

.

QP

，求动点P轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的极坐标方程．
（2）由OQ：QP=2：3，得OQ：OP=2：5．从而得到点P的参数方程ρ=6cos(θ-

π

6

)×

5

2

=15cos(θ-

π

6

)．下面利用三角函数的和角公式化简即可．

解答：解：（1）将圆心C(3，

π

6

)，化成直角坐标为（

3 3

2

，

3

2

），半径R=1，（2分）
故圆C的方程为（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=1．（4分）
再将C化成极坐标方程，得（ρcosθ-

3 3

2

）²+（ρsinθ-

3

2

）²=1．（6分）
化简，得ρ 2=6ρcos(θ-

π

6

)-8．
此即为所求的圆C的方程．（10分）
（2）由OQ：QP=2：3，得OQ：OP=2：5．
所以点P的参数方程为：ρ=6cos(θ-

π

6

)×

5

2

=15cos(θ-

π

6

)．
即ρ=

15 3

2

cosθ+

15

2

sinθ?ρ2=

15 3

2

ρcosθ+

15

2

ρsinθ
ρ2=15ρcos(θ-

π

6

)-50．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，即利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可．