题目内容

若椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴的一个端点与左右焦点F1、F2组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F2作直线l与椭圆C交于A、B两点,线段AB的中点为M,求直线MF1的斜率k的取值范围.
【答案】分析:(1)设出椭圆的标准方程,进而根据题设的条件组成方程组求得a和b,则椭圆的方程可得.
(2)当直线l的斜率不存在时,AB的中点为F2,直线MF1的斜率k=0;当直线l的斜率存在时,设其斜率为m,直线AB的方程可知,与椭圆方程联立消去y,设M(x,y),进而可表示出x和y,当m=0时,AB的中点为坐标原点,直线MF1的斜率k=0;当m≠0时用x和y表示斜率,进而根据m的范围确定k的范围.综合答案可得.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为

所以,椭圆C的方程为
(Ⅱ)
当直线l的斜率不存在时,AB的中点为F2
直线MF1的斜率k=0;
当直线l的斜率存在时,设其斜率为m,
直线AB的方程为
由椭圆方程联立消去y并整理得:
设M(x,y),则
当m=0时,AB的中点为坐标原点,直线MF1的斜率k=0;
当m≠0时,

且k≠0.
综上所述,直线MF1的斜率k的取值范围是
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
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