题目内容

精英家教网已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
2
2
,且经过点M(
2
,  1)

(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l经过椭圆C的右焦点F2,且与椭圆C交于A,B两点,使得|F1A|,|AB|,|BF1|依次成等差数列,求直线l的方程.
分析:(1)先设椭圆C的方程根据离心率和点M求得a和b,进而可得答案.
(2)设直线l的方程为y=k(x-
 )
,代入(1)中所求的椭圆C的方程,消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),进而可得到x1+x2和x1•x2的表达式,根据F1A|+|BF1|=2|AB|求得k,再判断直线l⊥x轴时,直线方程不符合题意.最后可得答案.
解答:解:(1)设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,(其中a>b>0)
由题意得e=
c
a
=
2
2
,且
2
a2
+
1
b2
=1
,解得a2=4,b2=2,c2=2,
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
2
=1

(2)设直线l的方程为y=k(x-
 )
,代入椭圆C的方程
x2
4
+
y2
2
=1

化简得(2+4k2)x2-8
2
k2x+8k2-8=0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
8
2
k2
2+4k2
x1x2=
8k2-8
2+4k2

由于|F1A|,|AB|,|BF1|依次成等差数列,则|F1A|+|BF1|=2|AB|.
而|F1A|+|AB|+|BF1|=4a=8,所以|AB|=
8
3
.|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
4
1+k2
1+2k2
=
4(1+k2)
1+2k2
=
8
3
,解得k=±1;
当直线l⊥x轴时,x=
2
,代入得y=±1,|AB|=2,不合题意.
所以,直线l的方程为y=±(x-
2
)
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与其他曲线的关系.要求学生综合掌握如直线、椭圆、抛物线等圆锥曲线的基本性质.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网