Question

若数列an=(2n-1)×2n，求其前n项和为Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n时，可对上式左、右的两边同乘以2，得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，两式相减并整理后，求得Sn=(2n-3)×2n+1+6．试类比此方法，求得bn=n2×2n的前n项和T_n=

（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6

．

Answer 1

分析：由已知可得题目中所示的方法为数列求和的错位相减法，由此类比在求数列bn=n2×2n的前n项和T_n时，也可将各项同乘2，错位相减后，再结合已知中的结论化简得到答案．

解答：解：根据数列求和的错位相减法：
当数列an=(2n-1)×2n，
Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n
左、右的两边同乘以2，得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，
两式相减并整理后，求得Sn=(2n-3)×2n+1+6．
类比此方法，当bn=n2×2n，
Tn=12×2+22×22+32×23+…+n2×2n…①
2Tn=0+12×22+22×23+32×24+…+(n-1)2×2n+n2×2n+1…②
①-②得-Tn=1×2+3×22+32×23+…+(2n-1)×2n-n2×2n+1
=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²×2ⁿ⁺¹=-（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹+6
∴T_n=（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6
故答案为：（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6

点评：本题考查的知识点是类比推理，其中正确理解并熟练掌握数列求和的错位相减法，是解答的关键．