题目内容
【题目】如图,已知定圆,定直线过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,是中点.
(1)当与垂直时,求证:过圆心;
(2)当时,求直线的方程;
(3)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值;若不为定值,请说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)或 (3)存在,是定值5
【解析】
(1)根据与垂直写出直线的方程;将圆心代入方程易知过圆心;
(2)过的一条动直线,应当分为斜率存在和不存在两种情况;当直线与轴垂直时,进行验证,当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于弦长,利用垂径定理,则圆心到弦的距离,从而解得斜率来得出直线的方程;
(3)当与轴垂直时,要对设,进行验证;当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得到一个二次方程,利用韦达定理和中点坐标公式求的坐标,再用两根直线方程联立,求的坐标,由图可知,再讨论是否为定值.
解:(1)由题意可知直线的斜率,由与垂直得直线的斜率,
所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心;
(2)由于,是中点,由垂径定理得,
①当直线与轴垂直时,易知,圆心到直线的距离为1,符合题意;
②当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,即,
,解得,直线的方程为,即;
综上:直线的方程为或;
(3)①当与轴垂直时,易得,,又,
则,,此时;
②当的斜率存在时,设直线的方程为,
代入圆的方程化简得,
设,,,
则,,
即,,
又由得,
则,
由图可知,
;
综上:为定值5.
【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试,求:第组至少有一名学生被考官面试的概率.