Question

如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD中心
（1）求证：PQ∥平面BCC₁B₁
（2）求PQ与面A₁B₁BA所成的角．

Answer 1

分析：（1）连接AB₁，B₁C，由△AB₁C中，P、Q分别是AB₁、AC的中点知PQ∥B₁C，由此能够证明PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）由PQ∥B₁C，知PQ与面A₁B₁BA所成的角即为B₁C与面A₁B₁BA所成的角，由正方体中BC与面A₁B₁BA垂直，知∠BB₁C即为B₁C与面A₁B₁BA所成的角，由此能求出PQ与面A₁B₁BA所成的角．

解答：（本小题满分8分）
（1）证明：连接AB₁，B₁C，
∵△AB₁C中，P、Q分别是AB₁、AC的中点，∴PQ∥B₁C，…2分
又PQ在平面BCC₁B₁外面，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴PQ∥平面BCC₁B₁．…4分
（2）解：由（1）知PQ∥B₁C，
所以PQ与面A₁B₁BA所成的角即为B₁C与面A₁B₁BA所成的角，…6分
正方体中BC与面A₁B₁BA垂直，
所以∠BB₁C即为B₁C与面A₁B₁BA所成的角，…7分
∵∠BB₁C=

π

4

，所以PQ与面A₁B₁BA所成的角

π

4

．…8分

点评：本题考查直线与平面平等的证明，考查直线与平面所成角的求法，解题时要认真审题，恰当地进行等价转化，能够化空间问题为平面问题．