Question

选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为：

x=t y=1+kt

（t为参数），以O为原点，ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4cosθ，
①写出直线l和曲线C的普通方程．  
②若直线l和曲线C相切，求实数k的值．

Answer 1

分析：①由

x=t y=1+kt

，能求出直线l的普通方程，由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，从而能求出曲线C的普通方程．
②把y=kx+1代入y²=4x，得k²x²+（2k-4）x+1=0，由直线l和曲线C相切，能求出实数k的值．

解答：解：①由

x=t y=1+kt

，得直线l的普通方程为y=kx+1，…（2分）
由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x，
∴曲线C的普通方程为y²=4x．…（4分）
②把y=kx+1代入y²=4x，
得k²x²+（2k-4）x+1=0，
由直线l和曲线C相切，得△=（2k-4）²-4k²=0，
解得k=1．…（7分）

点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，考查直线与曲线相切的性质的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．