题目内容
已知椭圆C：x2+| y2 |
| m |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足
| OA |
| OB |
| OP |
| PA |
| PB |
| 3 |
分析：（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m-1，且离心率为
，得m=4．由此能求出椭圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，|
-
|=|
|=4＞
，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：
，消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
| ||
| 2 |
（2）当l的斜率不存在时，|
| PA |
| PB |
| AB |
| 3 |
|
解答：解：（1）由题知a2=m，b2=1，∴c2=m-1
∴e=
=
=
，解得m=4．
∴椭圆的方程为x2+
=1．（4分）
（2）当l的斜率不存在时，|
-
|=|
|=4＞
，不符合条件．（5分）
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：
，．消去y，整理得（4+k2）x2+6kx+5=0，
∴△=（6k）2-4×（4+k2）×5=16k2-80＞0，解得k2＞5．且x1+x2=-
，x1x2=
，
∴|
-
|=|
|=
•
=
由已知有
＜
整理得13k4-88k2-128＜0，解得-
＜k2＜8，
∴5＜k2＜8．（9分）
∵
+
=λ
，即（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0
当λ=0时，x1+x2=-
=0，y1+y2=k(x1+x2)+6=
=0，显然，上述方程无解．
当λ≠0时，x0=
=-
，y0=
=
．
∵P（x0，y0）在椭圆上，即
+
=1，
化简得λ2=
．由5＜k2＜8，可得3＜λ2＜4，
∴λ∈（-2，-
）∪（
，2）．即λ的取值范围为（-2，-
）∪（
，2）．（12分）
∴e=
| c |
| a |
| ||
|
| ||
| 2 |
∴椭圆的方程为x2+
| y2 |
| 4 |
（2）当l的斜率不存在时，|
| PA |
| PB |
| AB |
| 3 |
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），联立l和椭圆的方程：
|
∴△=（6k）2-4×（4+k2）×5=16k2-80＞0，解得k2＞5．且x1+x2=-
| 6k |
| 4+k2 |
| 5 |
| 4+k2 |
∴|
| PA |
| PB |
| AB |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
| 4+k2 |
由已知有
4
| ||
| 4+k2 |
| 3 |
| 16 |
| 13 |
∴5＜k2＜8．（9分）
∵
| OA |
| OB |
| OP |
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0
当λ=0时，x1+x2=-
| 6k |
| 4+k2 |
| 24 |
| 4+k2 |
当λ≠0时，x0=
| x1+x2 |
| λ |
| 6k |
| λ(4+k2) |
| y1+y2 |
| λ |
| 24 |
| λ(4+k2) |
∵P（x0，y0）在椭圆上，即
| x | 2 0 |
| y02 |
| 4 |
化简得λ2=
| 36 |
| 4+k2 |
∴λ∈（-2，-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查圆锥曲线和直线 的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
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如图所示，已知椭圆C：